Question

11．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-$\frac{2}{3}$与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值；
（2）求过点（0，1）的f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知x₁=-$\frac{2}{3}$与x₂=1是方程3x²+2ax+b=0的两个根，利用韦达定理即可求得a，b的值；
（2）设的切点坐标，则切线的斜率k=3t²-t-2，将（0，1）代入点斜式方程，即可求得t的值，代入点斜式方程，即可求得过点（0，1）的f（x）的切线方程．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+1，求导f′（x）=3x²+2ax+b，
由f（x）在x₁=-$\frac{2}{3}$与x₂=1时都取得极值，
则x₁+x₂=-$\frac{2a}{3}$，x₁x₂=$\frac{b}{3}$，
即-$\frac{2}{3}$+1=-$\frac{2a}{3}$，-$\frac{2}{3}$×1=$\frac{b}{3}$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
a，b的值-$\frac{1}{2}$，-2；
（2）则f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+1，f′（x）=3x²-x-2，
设切点为（t，t³-$\frac{1}{2}$t²-2t+1），切线斜率k=3t²-t-2，
则切线方程为y-（t³-$\frac{1}{2}$t²-2t+1）=（3t²-t-2）（x-t），
由直线方程过（0，1），代入切线方程，解得：t=0或t=$\frac{1}{4}$，
当t=0时则f（x）在（0，1）切线方程的斜率k=f′（0）=-2，
则在（0，1）处的切线方程y-1=-2（x-0），整理得：2x+y-1=0，
当t=$\frac{1}{4}$，则切点为（$\frac{1}{4}$，$\frac{31}{64}$），切线斜率k=-$\frac{33}{64}$，
则切线方程为：y-$\frac{31}{64}$=-$\frac{33}{64}$（x-$\frac{1}{4}$），整理得：33x+16y-16=0，
综上可知：切线方程为：2x+y-1=0或33x+16y-16=0．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数极值的关系，考查韦达定理，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．