Question

16．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点在球O₁上，又知球O₂与此正三棱柱的5个面都相切，求球O₁与球O₂的表面积之比（　　）

• A． 5：1
• B． 2：1
• C． 4：1
• D． $\sqrt{3}$：1

Answer 1

分析 由题意得两球心是重合的，设球O₁的半径为R，球O₂的半径为r，则正三棱柱的高为2r，AB=2$\sqrt{3}$r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O₁的球心，则（2r）²+r²=R²，即5r²=R²

解答 解：设球O₂的为r，球O₁的半径为R
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球O₁的球面上，
∴三棱柱的高（侧棱长）为2r．
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面与球O₁的大圆截面如图（1）所示：可得AB=2$\sqrt{3}$r，BO₁=2r


正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O₁的球心，
∴（2r）²+r²=R²，∴5r²=R²，∴球O₁与球O₂的表面积之比为5：1．
故选：A

点评 本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题．