Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（ 2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

解：（1）∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC…（2分）
∵AC=3，BC=4，AB=5，，
∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥CB …（4分）
又C₁C∩CB=C，
∴AC⊥平面C₁CB₁B，又BC₁?平面C₁CB₁B，
∴AC⊥BC₁…（7分）
（2）设CB₁∩BC₁=E，∵C₁CBB₁为平行四边形，
∴E为C₁B的中点…（10分）
又D为AB中点，∴AC₁∥DE…（12分）
DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁…（14分）
分析：（1）利用ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，证明CC₁⊥AC，利用AB²=AC²+BC²，说明AC⊥CB，证明AC⊥平面C₁CB₁B，推出AC⊥BC₁．
（2）设CB₁∩BC₁=E，说明E为C₁B的中点，说明AC₁∥DE，然后证明AC₁∥平面CDB₁．
点评：本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．