Question

18．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域为{x|-1＜x＜1}关于原点对称；利用定义法．
设F（x）=f（x）-g（x），判断F（-x）=-F（x），得出结论；
（2）利用函数的奇偶性整理不等式为log_a（x+1）＞log_a（1-x），对底数a分类讨论得出x的范围，．

解答 解：（1）f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），若要式子有意义，
则$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，即-1＜x＜1．所以所求定义域为{x|-1＜x＜1}．
设F（x）=f（x）-g（x），
则F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（-x+1）-log（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-F（x），
所以f（x）-g（x）是奇函数．----------------------（4分）
（2）f（x）-g（x）＞0，即 log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\\ x+1＜1-x\end{array}\right.$，解得-1＜x＜0；
当a＞1时，原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\\ x+1＞1-x\end{array}\right.$，解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．…（10分）

点评 考查了利用定义法判断函数的奇偶性，奇偶性在不等式中的应用和对底数a的分类讨论．