Question

如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁∶AF₂＝3∶1．

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设．

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁＋λ₂的值；

②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁＋λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解(Ⅰ)设，则．由题设及椭圆定义得

　　，消去得，所以离心率．3分

　　(Ⅱ)解法一：由(1)知，，所以椭圆方程可化为．

　　①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，，直线的方程为．

　　由得　，解得，

　　∴点的坐标为．

　　又，所以，，所以，．6分

　　②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6．

　　证明　设，，则．

　　若为椭圆的长轴端点，则或，

　　所以．8分

　　若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由得，，所以．

　　又直线的方程为，所以由得

．

　　，

　　∴．

　　由韦达定理得　，所以．同理．

　　∴．

　　综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6．14分

　　解法二：设，，则

　　∵，∴；………………8分

　　又①，②，将、代入②得：

　　即③；

　　③①得：；……………12分

　　同理：由得，∴，∴．…14分