Question

自然数n的数字和用S(n)来表示．

(1)是否存在一个自然数n，使得n＋s(n)＝1980；

(2)证明：在任意两个连续的自然数之中，至少有一个能表示成n＋S(n)的形式，其中n为某个自然数．

Answer 1

证明：(1)当n＝1962时，n＋S(n)＝1980．

(2)令S_n＝n＋S(n)，如果n的末位数字是9，则S_n＋1＜S_n；否则S_n＋1＝S_n＋2．对任意两个连续的自然数m(m≥2)，m＋1，在S_n＜m的n中，选择最大的，并用N表示．这时S_N＋1≥m＞S_N，所以N的末位数字不是9，从而S_N＋1＝S_N＋2．由m≤S_N＋1＝S_N＋2＜m＋2，即得S_N＋1＝m或S_N＋1＝m＋1．