Question

    定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)= ．

    (1)求证：函数f(x)是奇函数；

    (2)如果当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数；

    (3)在(2)的条件下解不等式：+＞0．

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)证明：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，故f(0)＝0.     令y＝－x，则f(x)+f(－x)==f(0)=0.     ∴f(－x)＝－f(x)，     即函数f(x)是奇函数．     (2)证明：设x1＜x2∈(－1，1)，则     f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=.     ∵x1＜x2∈(－1，1)，     ∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.     因此，∴，即f(x1)＞f(x2).     ∴函数f(x)在(－1，1)上是减函数．     (3)解：不等式+＞0，化为＞.     ∵函数f(x)在(－1，1)上是减函数，     ∴     解得：＜x＜－1.     ∴原不等式的解集为{＜x＜－1．