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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,
(Ⅰ)用定义证明:f(x)在[-1,1]上是增函数;
(Ⅱ)解不等式:
(Ⅲ)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围。
(Ⅰ)证明:任取x1<x2,且x1,x2∈[-1,1],
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
∵-1≤x1<x2≤1,
∴x1+(-x2)≠0,
由已知
又x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[-1,1]上为增函数.
(Ⅱ)∵f(x)在[-1,1]上为增函数,
,解得
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知f(x)在[-1,1]上为增函数,且f(1)=1,
故对x∈[-1,1],恒有f(x)≤1,所以要f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
即要t2-2at+1≥1成立,故t2-2at≥0,
记g(a)=t2-2at,对a∈[-1,1],g(a)≥0,
只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于0,g(-1)≥0,g(1)≥0,
解得,t≤-2或t=0或t≥2;
∴t的取值范围是:{t|t≤-2或t=0或t≥2}。
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列结论中正确的是
①②③
①②③

①函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
②已知ξ~N(16,σ2),若P(ξ>17)=0.35,则P(15<ξ<16)=0.15;
已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数.设a=f(ln
1
3
),b=f(log43),
c=f(0.4-1.2),则c<a<b;

④线性相关系数r的绝对值越接近于1,表明两个变量线性相关程度越弱.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在实数集R上的函数,它的反函数为f-1(x),若y=f-1(x+1)与y=f(x+1)互为反函数,且f(1)=1,则f(2)的值为

A.2                  B.1                   C.0                   D.-1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R,满足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N*),b=(n∈N*);考查下列结论:

f(0)=f(1);②f(x)为偶函数;③数列{a}为等比数列;④{b}为等差数列.

其中正确的是               .

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科目:高中数学 来源:2015届广东省高一第一次阶段考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

(本小题满分14分)已知f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,

且f() = f(x)-f(y)  

(1)求f(1)的值;

(2)若f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f() <2

 

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科目:高中数学 来源:2010年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷 题型:填空题

已知f (x)是定义在上的奇函数,当时,f (x)的图象如图所示,那么f (x)的值域是                   

 

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