Question

已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，，
(Ⅰ)用定义证明：f(x)在[-1，1]上是增函数；
(Ⅱ)解不等式：；
(Ⅲ)若f(x)≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)证明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[-1，1]，
则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)，
∵-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁+(-x₂)≠0，
由已知，
又x₁-x₂＜0，
∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x)在[-1，1]上为增函数．
(Ⅱ)∵f(x)在[-1，1]上为增函数，
∴，解得；
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知f(x)在[-1，1]上为增函数，且f(1)=1，
故对x∈[-1，1]，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0，
记g(a)=t²-2at，对a∈[-1，1]，g(a)≥0，
只需g(a)在[-1，1]上的最小值大于等于0，g(-1)≥0，g(1)≥0，
解得，t≤-2或t=0或t≥2；
∴t的取值范围是：{t|t≤-2或t=0或t≥2}。