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已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆CAB两点.问:是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在,求点T坐标;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)

(Ⅱ)T(0,1)


解析:

(Ⅰ)由

    因直线相切,,∴

…… 2分

    ∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

    形,∴                                    ……  4分

    故所求椭圆方程为                             …… 5分

  (Ⅱ)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:

    当L与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:

    由

    即两圆公共点(0,1)

    因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1)                 …… 8分

    (ⅰ)当直线L斜率不存在时,以AB为直径的圆过点T(0,1)

    (ⅱ)若直线L斜率存在时,可设直线L:

    由

    记点            …… 10分

   

     

               

    ∴TA⊥TB,

综合(ⅰ)(ⅱ),以AB为直径的圆恒过点T(0,1).             …… 12分

练习册系列答案
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已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点S(0,-
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)
的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

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(本小题满分12分)

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆CAB两点.问:是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在,求点T坐标;若不存在,说明理由.

 

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