Question

15．已知2^x≤256，且log₂x≥$\frac{1}{2}$．
（1）求x的取值范围；
（2）求函数f（x）=log₂（$\frac{x}{2}$）•log₂（$\frac{x}{4}$）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）分别解不等式2^x≤256，log₂x≥$\frac{1}{2}$，从而求出x的范围；（2）先整理出f（x）的表达式，结合二次函数的性质，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）由2^x≤256，解得：x≤8，
由log₂x≥$\frac{1}{2}$，得：x≥$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤x≤8；
（2）由（1）$\sqrt{2}$≤x≤8得：$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
f（x）=（${log}_{2}^{x}$-1）（${log}_{2}^{x}$-2）=${{（log}_{2}^{x}-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
当${log}_{2}^{x}$=$\frac{3}{2}$，∴x=${2}^{\frac{3}{2}}$时：f（x）_min=-$\frac{1}{4}$，
当${log}_{2}^{x}$=3，∴x=8时：f（x）_max=2．

点评 本题考查了指数函数、对数函数的性质，考查二次函数的性质，函数的单调性、最值问题，是一道中档题．