Question

8．设$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），且tanα=\frac{1+sinβ}{cosβ}，则2α-β$=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得sin（α-β）=sin（$\frac{π}{2}$-α），由角的范围和正弦函数的单调性可得．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，
∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，
∴sin（α-β）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{2}$-α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵函数y=sinx在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）单调递增，
∴由sin（α-β）=sin（$\frac{π}{2}$-α）可得α-β=$\frac{π}{2}$-α，
变形可得2α-β=$\frac{π}{2}$
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数公式和三角函数的单调性，属中档题．