Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）已知圆心在原点的圆具有性质：若M、N是圆上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．试对椭圆写出类似的性质，并加以证明．

Answer 1

解：（1）由题意知，2a=4，∴椭圆C的方程为，把点A（1，）代入，得，解得b²=3，c²=1，∴椭圆C的方程是，焦点坐标是F₁（-1，0），F₂（1，0）
（2）在椭圆上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么
证明：设椭圆方程是，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么①且②
因为，由①知：，由②，所以，所以=
分析：（1）由题意知2a=4，把点A（1，）代入能推导出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）在椭圆上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么．
证明：设椭圆方程是，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么且，由此能够推导出=．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．