Question

已知函数f（x）=|x-a|．
（I）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（II）在（1）的条件下，求y=f（x）+f（x+5）的最小值．

Answer 1

解：（I）∵|x-a|≤3等价于-3≤x-a≤3，解之得a-3≤x≤a+3．
∴，解得a=2
（II）∵a=2，f（x）=|x-2|．
∴y=g（x）=f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|
∵|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5
∴当-3≤x≤2时，g（x）=|x-2|+|x+3|的最小值为5．
分析：（I）根据含有绝对值不等式的解法法则，可得解集关于常数a的式子，再结合题意比较两解集的区间端点值，即可得到实数a的值；
（II）由（I）得y=f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|，利用绝对值不等式的性质，即可求出当-3≤x≤2时，函数的最小值为5．
点评：本题给出含有绝对值的数，叫我们解关于x的不等式并求另一个函数的最小值，着重考查了带绝对值函数问题的处理方法和函数最值的意义等知识，属于基础题．