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已知函数数学公式
(1)在同一在直角坐标系内作出函数f(x),g(x)的图象;
(2)利用图象求F(x)>0的解集;
(3)已知函数数学公式的零点是1和x0,若x0∈(n,n+1)(n∈N),求n的值;
(4)若已知x(x2+3x-6)>0,解不等式:数学公式•(x2+3x-6)2

解:(1)∵F(x)=(x>0)
当0<x≤1时,f(x)>0,g(x)<0.f(x)>g(x)
当1<x<2时,f(x)>g(x)
而f(2)=g(2)=1,f(4)=g(4)=2但是函数f(x)=与g(x)=log2x在(4,+∞)都是单调递增,
但是函数f(x)比函数g(x)的增加速度快
当x>4时,f(x)>g(x)
∴函数f(x)=,g(x)=log2x的图象有2个交点,其图象如图所示


(2)由图象可得,当0<x<2,或x>2时,f(x)>g(x),即F(x)>0
当2<x<4时,f(x)<g(x),即F(x)<0
∴F(x)>0的解集为{x|0<x<2或x>4}.

(3)由函数的零点是1可得即x-1-2log2x=0的根为1和x0
令G(x)=x-1-2log2x
G(1)=0,而G(6)=5-2log26>0,G(5)=4-2log25<0
根据零点存在定理可知,x0∈(5,6)
∴n=5.
(4)不等式:•(x2+3x-6)2
两边取以2为底的对数得:
x+3+log2x2+log2(x2+3x-6)2
即x+3-<log2(x2+3x-6)2-log2x2
)<log2
从而由(1)得出2<<4.
①或
解①得2<x<3;解②得-3<x<-2
∴原不等式的解集为(-3,-2)∪(2,3).
分析:(1)根据F(x)=(x>0)分类讨论:当0<x≤1时,当1<x<2时,比较f(x)和g(x)函数值的大小,进一步得出函数f(x)=,g(x)=log2x的图象有2个交点,再画出图象.
(2)由图象可得,当0<x<2,或x>2时,f(x)>g(x),当2<x<4时,f(x)<g(x),从而得出F(x)>0的解集;
(3)由函数的零点是1可得即x-1-2log2x=0的根为1和x0令G(x)=x-1-2log2x根据零点存在定理可知,x0∈(5,6)从而得出n=5;
(4)先对不等式:•(x2+3x-6)2.两边取以2为底的对数得:x+3+log2x2+log2(x2+3x-6)2最后整理成)<log2,从而由(1)得出2<<4.解之即可.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的图象与性质、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
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