Question

【题目】已知函数（，）.

（1）当（e为自然对数的底数）时，

（i）若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围；

（ii）若（），求在上的最大值；

（2）当时，，，数列满足.求证：.

Answer 1

【答案】（1）（i）.（ii）（2）见解析

【解析】

（1）时，（i），，判断函数的单调性，求解函数的最值，推出m的范围.（ii）（），.通过

①当时，②当时，③当时，利用函数的导数，求解函数的最值.

（2）时，，，转化求解函数的通项公式，利用不等式求解结果即可.

（1）时，（i），，

故在上单调递减；在上单调递增；

故在上恰有两个相异实根，

故，解得.

（ii）（），∴.

①当时，，在上为增函数，则此时；

②当时，，在上为增函数，

故在上为增函数，此时；

③当时，，在上为增函数，在上为减函数，

若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，

此时，

若，即时，在上为增函数，则此时；

综上所述：.

（2）时，，，

即，

所以.