Question

已知数列的前项和为，点在直线上.数列满足，且，前9项和为153.
（1）求数列、{的通项公式；
（2）设，数列的前和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
（3）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）  ＝ （2） 
（3）存在唯一正整数m =11，使得成立.

试题分析：（1）由题意，得即   
故当时，
当=1时，，而当=1时，+5＝6,
所以，    
又，即   
所以（）为等差数列，于是
而，，
因此，＝，即＝   
（2） 
    
所以，
    
由于，
因此T_n单调递增，故   
令   
（Ⅲ）  
①当m为奇数时，m + 15为偶数.
此时，
所以   
②当m为偶数时，m + 15为奇数.
此时，
所以（舍去）.    
综上，存在唯一正整数m =11，使得成立.    
点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．