Question

3．已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求函数y=f（x）-g（x）的极值；
（2）求函数y=f[xg（x）-2]，x∈[1，e]的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函数的表达式，利用函数的导数为0，得到极值点，然后求解极值．
（2）求出函数的解析式，利用换元法以及函数的导数，结合函数的单调性求解函数的最值即可．

解答 解：（1）因为函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx，y=f（x）-g（x）
=x²-x-lnx，所以y′=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$
因为x≥0，所以当0＜x＜1时，y′＜0；当x＞1时，y′＞0．
即函数y=f（x）-g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故当x=1时，函数y有极小值0，无极大值．
（Ⅱ）函数y=f[xg（x）-2]=（xlnx）²-5（xlnx）+6，x∈[1，e]，
令u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，所以u=xlnx在[1，e]上单调递增，
所以0≤u≤e，y=h（u）=u²-5u+6，
h（u）的图象的对称轴u=$\frac{5}{2}$．h（u）在[0，$\frac{5}{2}$]上单减，在（$\frac{5}{2}$，e]上单增．
h（u）_min=h（$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，又h（0）=6，h（e）=e²-5e+6，则h（u）_max=6．
所以所求函数的值域为：[-$\frac{1}{4}$，6]．

点评 本题考查函数的极值，函数的值域．导函数的单调性，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．