Question

（2008•宝坻区一模）有6根木棒，已知其中有两根的长度为

3

cm和

2

cm，其余四根的长度均为1cm，用这6根木棒围成一个三棱锥，则这样的三棱锥体积为

2

12

cm³．

Answer 1

分析：取BD的中点E，CD的中点F．连结EF，过A作AO⊥EF于点O，由勾股定理，中位线定理，等腰三角形三线合一，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理及性质定理，可得OA⊥面BCD，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：解：长度为

3

cm和

2

cm一定相交，如图所示：
不妨设AC=

3

，CD=

2

，AB=AD=BD=BC=1，
取BD的中点E，CD的中点F．连结EF，
∵AB=AD
∴AE⊥BD
由勾股定理可得BC⊥BD，
又∵EF∥BC
∴EF⊥BD，
∵AE，EF?平面AEF，AE∩EF=E
∴BD⊥平面AEF
∵BD?平面BCD
∴平面BCD⊥平面AEF
过A作AO⊥EF于点O，
∵平面BCD∩平面AEF=EF，AO?平面AEF
∴OA⊥面BCD．
在△AEF中，AE=

3

2

，AF=

6

2

，得OA=

2

2

，
∴V_A-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×

2

2

=

2

12

．
故答案为：

2

12

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，本题较难，其中证明出OA⊥面BCD是解答的关键．