Question

12．已知 {a_n}，{b_n}均为等差数列，前n项和分别为 S_n，T_n．
（1）若对 n∈N^*，有 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{31n+101}{n+3}$，求 $\frac{a_n}{b_n}$的最大值．
（2）若平面内三个不共线向量 $\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$满足 $\overrightarrow{OC}={a_3}\overrightarrow{OA}+{a_{15}}\overrightarrow{OB}$，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使 S_n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意和等差数列的求和公式和性质可得 $\frac{a_n}{b_n}$=$31+\frac{4}{n+1}$，由函数的单调性可得；
（2）由题意和向量的知识可得a₃+a₁₅=1，进而又等差数列的性质可得a₁+a₁₇=1，代入等差数列的求和公式可得${S_{17}}=\frac{{17（{a_1}+{a_{17}}）}}{2}=\frac{17}{2}$，可得结论．

解答 解：（1）∵$\frac{a_n}{b_n}=\frac{{\frac{{{a_1}+{a_{2n-1}}}}{2}}}{{\frac{{{b_1}+{b_{2n-1}}}}{2}}}=\frac{{{S_{2n-1}}}}{{{T_{2n-1}}}}=\frac{31n+35}{n+1}$=$31+\frac{4}{n+1}$．
由反比例函数的单调性可得当n=1时，式子取最大值33；
（2）∵A，B，C三点共线，
∴假设存在正整数n，使$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$，
即$\overrightarrow{OC}=（1-λ）\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$．
由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}1-λ={a_3}\\ λ={a_{15}}\end{array}\right.$，
消去λ得a₃+a₁₅=1，又a₃+a₁₅=a₁+a₁₇，
∴${S_{17}}=\frac{{17（{a_1}+{a_{17}}）}}{2}=\frac{17}{2}$．
即存在n=17时，S₁₇为定值$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查等差数列的求和公式，涉及函数和平面向量的知识，属中档题．