Question

19．设数列{a_n}是首项为1的等比数列，若{$\frac{1}{2{a}_{n}+{a}_{n+1}}$}是等差数列，则（$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…（$\frac{1}{2{a}_{2014}}$+$\frac{1}{{a}_{2015}}$）的值等于（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． 3020
• D． 3021

Answer 1

分析 根据等比数列和等差数列的性质进行推导，求出a_n=1，然后进行求和即可．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，a₁=1，
∴a_n=q^n-1，
∴$\frac{1}{2{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2{q}^{n-1}+{q}^{n}}$
∵{$\frac{1}{2{a}_{n}+{a}_{n+1}}$}是等差数列，
∴2×$\frac{1}{2q+{q}^{2}}=\frac{1}{2+q}+\frac{1}{2{q}^{2}+{q}^{3}}$，
整理，得q²-2q+1=0，解得q=1，
∴a_n=1，
∴2a_n+a_n+1=3，
∴（$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…（$\frac{1}{2{a}_{2014}}$+$\frac{1}{{a}_{2015}}$）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$×2014=3021．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．