Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x-a）²+y²=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$．

Answer 1

分析 设以MN为直径的圆的圆心为A，得到MN的中点A（-1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得a．

解答 解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（-2，0），N（0，2），所以中点A（-1，1）；
点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，
所以（a+1）²+1²＞（2$\sqrt{2}$）²，解得a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$；
所以a的取值范围是a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$；
故答案为：a＞$\sqrt{7}-1$或a＜-$\sqrt{7}-1$．

点评 本题考查了直线与圆和圆与圆的位置关系；解得本题的关键是∠MPN恒为锐角的等价条件．