Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若点B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求tan（θ+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{18}{13}$，求cos（$\frac{π}{3}$-θ）．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；
（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．

解答 解：（1）由点B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），∴sinθ=$\frac{4}{5}$，$cosθ=-\frac{3}{5}$，tanθ=-$\frac{4}{3}$．
∴tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ+tan\frac{π}{4}}{1-tanθ•tan\frac{π}{4}}$=$\frac{-\frac{4}{3}+1}{1+\frac{4}{3}}$=-$\frac{1}{7}$；
（2）∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=（1+cosθ，sinθ）．
$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{18}{13}$，
∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos²θ+sin²θ=cosθ+1=$\frac{18}{13}$，
解得cosθ=$\frac{5}{13}$，∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{12}{13}$．
∴cos（$\frac{π}{3}$-θ）=$cos\frac{π}{3}cosθ+sin\frac{π}{3}sinθ$=$\frac{1}{2}×\frac{5}{13}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{12}{13}$=$\frac{5+12\sqrt{3}}{26}$．

点评 本题考查了三角函数的定义、向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．