Question

1．写出函数y=${a}^{{x}^{2}-2x}$的值域和单调性．

Answer 1

分析 由二次函数可得y=x²-2x在（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；且y=x²-2x≥-1；结合指数函数可判断函数的单调性与值域．

解答 解：y=x²-2x在（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
且y=x²-2x≥-1；
故①当0＜a＜1时，
y=${a}^{{x}^{2}-2x}$在（-∞，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数；
y=${a}^{{x}^{2}-2x}$的值域为（0，a^-1]；
②当a＞1时，
y=${a}^{{x}^{2}-2x}$在（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
y=${a}^{{x}^{2}-2x}$的值域为[a^-1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数与指数函数的单调性与值域，同时考查了复合函数的单调性与值域，属于基础题．