Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，$C=\frac{π}{3}$．
（1）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=sin2A，求a，b．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：4=a²+b²-ab，①，由△ABC的面积公式可得：$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC，解得：ab=4，②，②代入①可解得：a+b=4，③，由②③可解得b，a的值．
（2）利用两角和与差的正弦函数化简已知等式可得cosA（sinB-sinA）=0，可得：cosA=0或sinB=sinA，当cosA=0时，结合0＜A＜π，可得A为直角，结合已知即可求得a，b的值，当sinB=sinA时，由正弦定理可得a=b，由余弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵c=2，$C=\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-ab，①
∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ab，解得：ab=4，②
∴②代入①可得：a²+b²=8，从而（a+b）²=a²+b²+2ab=16，解得：a+b=4，③
∴由②③可解得：b=2，a=2．
（2）∵sinC+sin（B-A）=sin2A，sinC=sin（A+B）
∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosA，整理可得：cosA（sinB-sinA）=0，
∴可得：cosA=0或sinB=sinA，
∴当cosA=0时，由0＜A＜π，可得A=$\frac{π}{2}$，又c=2，$C=\frac{π}{3}$，可得：b=$\frac{c}{tanC}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，a=$\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当sinB=sinA时，由正弦定理可得：a=b，又c=2，$C=\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：4=2a²-a²，解得：a=b=2．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．