Question

11．如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{c}$，E，F分别是PC和PB的中点，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{BF}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{EF}$．

Answer 1

分析 根据空间向量的线性运算的几何意义，用向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OP}$分别表示$\overrightarrow{BF}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{EF}$．

解答 解：如图所示，
四棱锥P-OABC中，PO⊥平面OABC，
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{c}$，E，F分别是PC和PB的中点，
所以$\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OP}$-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CP}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OC}$）-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OC}$）-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$．

点评 本题考查了空间向量的线性运算与线性表示的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题目．