Question

关于函数f(x)=2sin(2x-

π

3

)(x∈R)，有以下命题
（1）y=f(x-

π

12

)为偶函数；      
（2）y=f（x）的图象关于直线x=

5π

12

对称；
（3）函数f（x）在区间[0，

π

2

]的值域为[-

3

，

3

]；
（4）y=f（x）在[-

π

2

，

π

2

]的减区间是[-

π

2

，-

π

12

]和[

5π

12

，

π

2

]．
其中正确命题的序号为

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：把函数f(x)=2sin(2x-

π

3

)中的x替换为x-

π

12

，化简整理后即可判断函数y=f(x-

π

12

)的奇偶性；
把x=

5π

12

代入函数解析式，根据函数能否取得最值判断y=f（x）的图象是否关于直线x=

5π

12

对称；
直接由x∈[0，

π

2

]，求解函数f(x)=2sin(2x-

π

3

)的值域，从而能判断命题（3）的真假；
根据复合函数的单调性，求解函数f(x)=2sin(2x-

π

3

)的单调区间，然后根据k的取值，求得函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的减区间．由以上分析即可得到正确答案．

解答：解：由f(x)=2sin(2x-

π

3

)，得：y=f(x-

π

12

)=2sin[2(x-

π

12

)-

π

3

]=2sin(2x-

π

2

)=-2cos2x，
函数的定义域为R，且-2cos2（-x）=-2cos2x，∴函数y=f(x-

π

12

)为偶函数，∴命题（1）正确；
把x=

5π

12

代入f(x)=2sin(2x-

π

3

)，得：f(

5π

12

)=2sin(2×

5π

12

-

π

3

)=2sin

π

2

=2，
∴y=f（x）的图象关于直线x=

5π

12

对称，∴命题（2）正确；
由0≤x≤

π

2

，得：-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，
∴函数f（x）在区间[0，

π

2

]的值域为[-1，2]，∴命题（3）错误；
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得：

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z），
取k=-1，得：-

7π

12

≤x≤-

π

12

，取k=0，得：

5π

12

≤x≤

11π

12

．
∴y=f（x）在[-

π

2

，

π

2

]的减区间是[-

π

2

，-

π

12

]和[

5π

12

，

π

2

]，∴命题（4）正确．
所以，正确的命题为（1）（2）（4）．
故答案为（1）（2）（4）．

点评：本题考查了判断命题真假，比较综合的考查了三角函数的一些性质，解答此题的关键是对三角函数的性质的理解与掌握，若能借助于单位圆中的三角函数线处理该题，将会使问题简洁化，此题属中档题．