Question

在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(2x)*

1

2x

的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)．
其中所有正确说法的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：对于新定义的运算问题常常通过赋值法得到一般性的结论，本题的关键是对f（x）的化简．

解答：解：在（3）中，令c=0，则a*b=ab+a+b?f(x)=1+2x+

1

2x

，
因x没有范围故不能直接利用不等式求最值，故①不正确
而②显然不正确
而f′(x)=2-

1

2x2

=0?x=±

1

2

，
易知函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)，
故选B．

点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．