Question

（2013•内江二模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，对任意a，b∈R，a⊕b为唯一确定的实数且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）对任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函数f(x)=x2⊕

1

x2

，则下列命题中：
（1）函数f（x）的最小值为3；
（2）函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）、（1，+∞）．
其中正确例题的序号有

（1）（3）

．

Answer 1

分析：对于新定义的运算问题常常通过赋值法得到一般性的结论，本题的关键是对f（x）的化简．

解答：解：在（3）中，令c=0，则a⊕b=ab+a+b，所以f（x）=x²⊕

1

x2

=x2•

1

x2

+x2+

1

x2

=1+x2+

1

x2

．
则f(x)=1+x2+

1

x2

≥1+2

x2• 1 x2

=3，所以命题（1）正确；
由f(-x)=1+(-x)2+

1

(-x)2

=1+x2+

1

x2

=f(x)，则函数f（x）为偶函数，所以命题（2）不正确；
而f′(x)=2x-

2

x3

=

2(x2+1)(x+1)(x-1)

x3

，由此可知函数的增区间为（-1，0），（1，+∞），
所以命题（3）正确．
故答案为（1）（3）．

点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力，是基础题．