Question

已知椭圆=1按向量a=(t-3,t²)(t∈R)平移后得到曲线E,设曲线E的右焦点为P.

(1)求P点轨迹C的方程;

(2)A、B为曲线C上的两点,F(0,),且(m∈R),求∠AOB(O为坐标原点)的最大值.

(文)已知函数f(x)=xⁿ+1(n∈N^*,x≠0).

(1)讨论函数f(x)图象的对称性,并指出其一条对称轴或一个对称中心;

(2)令a_n=f′(x),求数列{a_n}的前n项和S_n.

Answer 1

答案：解:(1)设平移后的右焦点为P(x,y),易得已知椭圆的右焦点为F₁(3,0),

则+a=,即(3,0)+(t-3,t²)=(x,y),∴(t∈R)，即轨迹C的方程为y=x².

(2)易知F(0,)为曲线C的焦点,又AF=mBF(m∈R).

设A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),其中x₁＞0,x₂＜0.则k_OA==x₁,k_OB==x₂.

∴tan∠AOB=.?设直线AB的方程为y=kx+,代入y=x²,得x²-kx-=0,

∴x₂x₁=-,

代入?得tan∠AOB==(x₂-x₁)=-(x₁-x₂)≤-×2

=-(当且仅当AB∥x轴时取等号).

∴∠AOB≤π-arctan,即∠AOB的最大值为π-arctan.

(文)解：(1)当n为偶数时,因为f(-x)=(-x)ⁿ+1=xⁿ+1=f(x),即函数f(x)为偶函数,所以其图象关于y轴对称.2分

当n为奇数时,因为f(-x)=(-x)ⁿ+1=-xⁿ+1,所以=1.

所以其图象关于点(0,1)中心对称.

〔或令g(x)=f(x)-1=xⁿ,所以g(-x)=(-x)ⁿ=-xⁿ=-g(x),即g(x)为奇函数.

所以g(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称〕

(2)a_n=f′(x)=nx^n-1,6分所以S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1.#当x=1时,S_n=;

当x≠1时,#式两边同乘x,得xS_n=x+2x²+3x³+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ.?

?式-#式可得S_n=.