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已知关于x的方程x2+(2+a)x+1+a+b=0的两根为x1,x2,且0<x1<1<x2,则
2a+3b
3a
的取值范围是(  )
分析:由方程x2+(2+a)x+1+a+b=0的两根满足0<x1<1<x2,结合对应二次函数性质得到
f(0)>0
f(1)<0
,然后在平面直角坐标系中,做出满足条件的可行域,分析
b
a
的几何意义,然后数形结合即可得到结论,从而可求
2a+3b
3a
的取值范围.
解答:解:由程x2+(2+a)x+1+a+b=0的二次项系数为1>0,
故函数f(x)=x2+(2+a)x+1+a+b图象开口方向朝上
又∵方程x2+(2+a)x+1+a+b=0的两根满足0<x1<1<x2
f(0)>0
f(1)<0

1+a+b>0
1+2+a+1+a+b<0

1+a+b>0
4+2a+b<0

其对应的平面区域如下图阴影示:

b
a
表示阴影区域上一点与原点边线的斜率
由图可知
b
a
∈(-2,-
2
3
)

2a+3b
3a
=
2
3
+
b
a

2a+3b
3a
∈(-
4
3
,0)

故选A.
点评:本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系,三个二次之间的关系,线性规划,其中由方程x2+(2+a)x+1+a+b=0的两根满足0<x1<1<x2,结合二次函数性质得到
f(0)>0
f(1)<0
是解答本题的关键.
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