Question

A、B是双曲线-y²=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且=．
（Ⅰ）求||的取值范围（O为坐标原点）；
（Ⅱ）求||的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）双曲线的右准线方程为x=，记M（，m），并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由=，知M为AB的中点，则直线AB的斜率k存在，且k≠0，于是直线AB的方程为y=k（x-）+m，
代入双曲线方程，并整理得（1-3k²）x²+3k（3k-2m）x-（3k-2m）²-3=0
因为 1-3k²≠0，x₁+x₂=3，
所以，∴，
△=9 k²（3k-2m）²+3（1-3k²）[（3k-2m）²-3]=
由△＞0，得 0＜k²＜，所以m²＞．
因为||=，
故||的取值范围为（，+∞）．
（Ⅱ）||²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=
因为4k²（1-3k²）≤（）²=
所以||²≥=48，当且仅当k²=时取“=”号．
故当k=±时，||取得最小值4．
分析：（Ⅰ）由于M为该双曲线右准线上一点，故可得M（，m），由=，知M为AB的中点，进而假设直线方程与双曲线方程联立，利用直线与双曲线有两个不同的交点，可求的参数的范围，进而可确定||的取值范围；
（Ⅱ）利用弦长公式可得||²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=，根据基本不等式有4k²（1-3k²）≤（）²=，从而可求||取得最小值．
点评：本题以双曲线为载体，考查直线与双曲线的位置关系，考查基本不等式的运用，解题的关键是将直线与双曲线方程联立，利用韦达定理求解．