Question

14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对于任意的xf′（x）$＜\frac{1}{2}$恒成立，则不等式f（lg²x）＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集为$（0，\frac{1}{10}）∪（10，+∞）$．

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．

解答 解：设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
得到g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）为减函数，
又f（1）=1，
∵f（lg²x）＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴g（lg²x）=f（lg²x）-$\frac{1}{2}$lg²x＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lg²x=$\frac{1}{2}$=f（1）-$\frac{1}{2}$=g（1）=g（lg²10），
∴lg²x＞lg²10，
∴（lgx+lg10）（lgx-lg10）＞0，
∴lgx＜-lg10，或lgx＞lg10，
解得0＜x＜$\frac{1}{10}$，或x＞10，
故答案为：$（0，\frac{1}{10}）∪（10，+∞）$．

点评 本题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题，属于中档题．