Question

在四棱柱ABC﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．
（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF平面A₁BD；
（II）试确定点E的位置，使得A₁﹣BD﹣E为直二面角，并说明理由．

Answer 1

解：（I）证明：（1）连接CD₁
∵四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴A₁D₁AD，ADBC，A₁D₁=AD，AD=BC；
∴A₁D₁BC，A₁D₁=BC，
∴四边形A₁BCD₁为平行四边形；
∴A₁BD₁C
∵点E、F分别是棱CC₁、C₁D₁的中点；
∴EFD₁C
又∵EFA₁B
又∵A₁B平面A₁DB，EF面A₁DB；
∴EF平面A1BD
（II）连接AC交BD于点G，连接A₁G，EG
∵四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD
∵底面ABCD是菱形，
∴点G为BD中点，
∴A₁G⊥BD，EG⊥BD
∴∠A₁GE为直二面角A₁﹣BD﹣E的平面角，
∴∠A₁GE=90°
在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，
∴∠ABC=120°，
∴AC=
∴AG=GC=
在面ACC₁A₁中，△AGA₁，△GCE为直角三角形
∵∠A1GE=90°
∴∠EGC+∠A1GA=90°，
∴∠EGC=∠AA₁G，
∴Rt△A₁AG∽Rt△ECG
∴
所以当EC=时，A₁﹣BD﹣E为直二面角．