Question

如图，在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点E是棱C₁C上一点．
（1）求证：无论E在任何位置，都有A₁E⊥BD
（2）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．
（3）当E为CC₁中点时，求四面体A₁-BDE的体积．

Answer 1

分析：（1）由AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥BD，结合菱形的性质可得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA₁C₁C，进而得到A₁E⊥BD；
（2）由（1）得二面角A₁-BD-E的平面角为∠A₁OE，令CE=x，利用勾股定理，可得x值，进而确定E点的位置；
（3）VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD，当E为CC₁中点时，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：解：（1）因为AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，

∴BD⊥AC BD⊥AA1 ⇒BD⊥平面AA1C1C A1E⊆平面AA1C1C

⇒BD⊥A1E…（4分）
（2）由（1）得BD⊥平面AA₁C₁C，所以二面角A₁-BD-E的平面角为∠A₁OE．
令CE=x，则易得A1O=

AA12+AO2

=

19

，OE=

OC2+CE2

=

x2+3

，A1E=

A1C12+C1E2

=

12+(4-x)2

又因为A1E2=A1O2+OE2⇒x=

3

4

…9
（3）因为VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD
另一方面，因为BD⊥平面AA₁C₁C，所以平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C，
过E作A₁O的垂线与H，则必有EH⊥平面A₁BD，从而dE-A1BD=EH
当E点和CC₁中点时EH=

6 57

19

，
从而VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD=2

3

…（13分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，难度中档．