Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2，四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求直线A₁C₁与平面BDC₁所成角的正弦值；
（3）求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证AB₁∥平面BC₁D，只需证明AB₁平行平面BC₁D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB₁成为这个三角形中的边，而中位线OD恰好在平面BC₁D上，就可得到结论．
（2）作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C．设BC=a，在Rt△ABC中，BE=

AB•BC

AC

=

2a

4+a2

，利用四棱锥B-AA₁C₁D的体积，可求得BC=3，从而可求BE=

6

13

，根据VA1-C1BD=VB-A1C1D可求A₁到平面C₁BD的距离，从而可求直线A₁C₁与平面BDC₁所成角的正弦值；
（3）先根据AA₁=AB=2，四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求出BC长，利用三垂线定理，取BC中点M，连接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁与N，连接DN，则DN⊥BC₁，则∠DNM为二面角C-BC₁-D的平面角．再把角∠DNM放到三角形DMN中求出正切值即可．

解答：解：（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点，
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D
（2）作BE⊥AC，垂足为E，
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，BE?底面ABC
∴AA₁⊥BE
∵AA₁∩AC=A
∴BE⊥平面AA₁C₁C．
设BC=a，在Rt△ABC中，BE=

AB•BC

AC

=

2a

4+a2

∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=

1

3

×

1

2

（A₁C₁+AD）•AA₁•BE=a=3，即BC=3
∴BE=

6

13

在三角形C₁BD中，BC₁=

13

，BD=

13

2

，C₁D=

29

2

，
∴cos∠C1BD=

9 13

，
∴sin∠C1BD=

4 13

=

2

13

13

∴S△C1BD=

13

2

设A₁到平面C₁BD的距离为h，则根据VA1-C1BD=VB-A1C1D，
可得

1

3

×

13

2

×h=

1

3

×

1

2

×2×

13

×

6

13

∴h=

12

13

设直线A₁C₁与平面BDC₁所成角为α，∴sinα=

h

13

=

12

13

（3）依题意知，AB=BB₁=2，
∵AA₁⊥底面ABC，AA₁?底面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC
取BC中点M，连接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁与N，连接DN，则DN⊥BC₁，
∠DNM为二面角C-BC₁-D的平面角．
在△DMN中，DM=1，MN=

3

13

，tan∠DNM=

13

3

，
∴二面角C-BC₁-D的正切值为

13

3

点评：本题以三棱柱为载体，考查线面平行，考查线面角，考查面面角，解题的关键是正确运用线面平行的判定，作出线面角，面面角，计算较繁，需要细心