Question

（2013•通州区一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2

2

，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且

AN

AB

=

CM

CC1

，求证：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若CM=

5

2

，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明BC⊥AM，可证BC⊥面ACM，由CC₁⊥底面ABC得到BC⊥CM，在三角形ABC中由勾股定理得到AC⊥BC，由线面垂直的判定定理得到BC⊥面ACM，则问题得证；
（Ⅱ）过N作NP∥BB₁交AB₁于P，连结MP，由已知及三角形相似可证得四边形MCNP是平行四边形，从而得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到线面平行；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CA，CB，CC₁为三条两两相互垂直的直线，以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求二面角A-MB₁-C的大小．

解答：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，
所以 CC₁⊥BC．     
因为AC=BC=2，AB=2

2

，
所以，由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． 
又因为AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁
因为AM?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AM；
（Ⅱ）证明：如图，
过N作NP∥BB₁交AB₁于P，连结MP，则
NP∥CC₁，且△ANP∽△ABB₁．
于是有

NP

BB1

=

AN

AB

．
由已知

AN

AB

=

CM

CC1

，有

NP

BB1

=

CM

CC1

．
因为BB₁=CC₁．
所以NP=CM．
所以四边形MCNP是平行四边形．  
所以CN∥MP．   
因为CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，
所以CN∥平面AB₁M；　　　　
（Ⅲ）因为BC⊥AC，且CC₁⊥平面ABC，
所以以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz．
因为CM=

5

2

，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4），M(0，0，

5

2

)，

AM

=(-2，0，

5

2

)，

B1M

=(0，-2，-

3

2

)．
设平面AMB₁的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • AM =0 m • B1M =0

，即

-2x+ 5 2 z=0 -2y- 3 2 z=0

，
令x=5，则y=-3，z=4，即

m

=(5，-3，4)．
又平面MB₁C的一个法向量是

CA

=(2，0，0)，
所以cos＜

m

，

CA

＞=

m • CA

| m |•| CA |

=

5×2+(-3)×0+4×0

52+(-3)2+42 22

=

2

2

．   
由图可知二面角A-MB₁-C为锐角，
所以二面角A-MB₁-C的大小为

π

4

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的判定，证明的关键是进口两个判定定理的条件，训练了利用平面法向量求二面角的大小，关键是会求平面的法向量，是中档题．