Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC⊥BC，E分别在线段B₁C₁上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4．
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A₁ABB₁，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定定理只要证明BC⊥面AA₁C₁C，即可．
（2）根据线面平行的判定定理和性质定理，即可确定F的位置．

解答：解：（1）∵AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BC⊥AA₁．
又∵BC⊥AC，AA₁，AC?面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴BC⊥面AA₁C₁C，
又AC₁?面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁．
（2）（法一）当AF=3FC时，FE∥平面A₁ABB₁．
理由如下：在平面A₁B₁C₁内过E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，连结AG．
∵B₁E=3EC₁，∴EG=43A₁C₁，
又AF∥A₁C₁且AF=43A₁C₁，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，
又EF?面A₁ABB₁，AG?面A₁ABB₁，∴EF∥平面A₁ABB₁．
（法二）当AF=3FC时，FE∥平面A₁ABB₁．
理由如下：在平面BCC₁B₁内过E作EG∥BB₁交BC于G，连结FG．
∵EG∥BB₁，EG?面A₁ABB₁，BB₁?面A₁ABB₁，
∴EG∥平面A₁ABB₁．
∵B₁E=3EC₁，∴BG=3GC，
∴FG∥AB，
又AB?面A₁ABB₁，FG?面A₁ABB₁，
∴FG∥平面A₁ABB₁．
又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面A₁ABB₁．
∵EF?面EFG，∴EF∥平面A₁ABB₁．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定定理，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理的应用．