Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=60°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求证：平面A₁CB⊥平面ACB₁；
（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（1）要证平面A₁CB⊥平面ACB₁；可以通过证出AB₁⊥平面A₁CB而得到．因为四边形A₁ABB₁为菱形，所以A₁B⊥AB₁．若证出CB⊥AB₁则可，由已知，利用CB⊥面A₁ABB₁，可实现．
（2）可将三棱柱ABC-A₁B₁C₁中补上同等体积的几何体A₁C₁D₁-ACD．构成四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD，而四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD 视为以菱形A₁ABB₁为底面，CB为高的几何体，体积易求．

解答：解：（1）证明：∵四边形BCC₁B₁为矩形，∴B₁B⊥CB，
又AB⊥CB，B₁B∩AB=B
∴CB⊥面A₁ABB₁，AB₁?A₁ABB₁，
∴CB⊥AB₁，
∵四边形A₁ABB₁为菱形，∴A₁B⊥AB₁，且CB∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁CB，∵AB₁?平面ACB₁，
∴平面A₁CB⊥平面ACB₁；
 （2）过点A作BC的平行线，过C作BA的平行线，两线交于点D，
则四边形ABCD为平行四边形．
同样地作图得出A₁B₁C₁D₁为平行四边形．
连接D₁D，即将三棱柱ABC-A₁B₁C₁中补上了同等体积的几何体A₁C₁D₁-ACD．构成四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD，
由（1）中CB⊥面A₁ABB₁，看作以A₁ABB₁为底面，以BC为高的四棱柱．
∴V_{三棱柱ABC-A1B1C1}=

1

2

V_{四棱柱A1B1C1D1-ABCD}
=

1

2

S_菱形A1ABB1×CB
=

1

2

×4×4sin60°×3
=12

3

．

点评：本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面垂直关系的判定与转化，柱体体积的计算，考查空间想象、转化、计算、论证能力．