Question

（理）如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥面ABCD且|PA|=1
（1）BC边上是否存在点Q，使得FQ⊥QD，并说明理由；
（2）若BC边上存在唯一的点Q使得FQ⊥QD，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角Q-PD-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥面ABCD可知AQ⊥QD，要判断BC边上是否存在点Q，只需判断矩形ABCD中直线BC与以AD为直径的圆的位置关系
，而当a＜2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD
（2）由（1）的讨论可知，当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使∠AQD为直角，当Q为BC的中点．作AH⊥PQ于H，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求sin∠ADH
（3）作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q-PD-A的平面角，且在Rt△PAD中可求sin∠AGH

解答：解：（1）若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD．（2分）
矩形ABCD中，当a＜2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQ⊥QD，（3分）
故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD；（4分）
（2）当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使∠AQD为直角，且Q为BC的中点．作AH⊥PQ于H，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得sin∠ADH=

6

6

（9分）
（3）作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q-PD-A的平面角，且在Rt△PAD中可求得sin∠AGH=

30

6

（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的与线线垂直的相互转化，直线与平面所成的角的求解，其关键是根据条件找的与已知平面垂直的直线，从而先找到线面角，进而在直角三角形中求解角．