Question

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点D是斜边AB上的一点，且AC=AD．
（Ⅰ）求CD的长；
（Ⅱ）求sin∠BDC的值．

Answer 1

分析：（I）在直角△ABC中，求得cosA=

3

5

，在△ACD中，根据余弦定理CD²=AC²+AD²-2AC•ADcosA，即可求CD的长；
（II）在△BCD中，求得sinB=

3

5

，根据正弦定理

BC

sin∠BDC

=

CD

sin∠B

，可求sin∠BDC的值．

解答：解：（I）因为在直角△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，…（1分）
所以cosA=

3

5

…（3分）
在△ACD中，根据余弦定理CD²=AC²+AD²-2AC•ADcosA…（6分）
所以CD2=32+32-2•3•3•

3

5

所以CD=

6 5

5

…（8分）
（II）在△BCD中，sinB=

3

5

…（9分）
根据正弦定理

BC

sin∠BDC

=

CD

sin∠B

…（12分）
把BC=4，CD=

6 5

5

代入，得到sin∠BDC=

2 5

5

…（13分）

点评：本题考查解三角形，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．