Question

15、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．
求证：（1）AE=CE；
（2）CD•CB=4DE²，

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形ACD，根据切线的判定定理证明AC也是圆的切线．根据切线长定理得到AE=DE，根据等边对等角和等角的余角相等证明CE=DE．
（2）根据切割线定理和（1）中的结论即可证得：CD•CB=4DE²．

解答：证明：（1）连接AD；
∵AB是圆的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠A=90°，
∴AC是圆的切线；
又∵DE是圆的切线，
∴DE=AE，
∴∠ADE=∠EAD，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE，
∴AE=CE．
（2）根据切割线定理得CA²=CD•CB；
∵由（1）得CA=2DE，
∴CD•CB=4DE²．

点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切割线定理．构造直径所对的圆周角是圆中构造直角三角形的一种常用方法．掌握切线长定理和切割线定理的运用．