Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

．DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设

DM

DN

=λ，试确定实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2? 2 )2

=2

2

，可得动点P的轨迹是椭圆，由此易得椭圆的方程；

（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

△=(8k)2-4(2k+1)×6＞0 x1+x2=- 8k 2k2+1 x1x2= 6 2k2+1

，再由过D点的直线L可能是Y轴也可能斜率存在分为两类，由

DM

DN

=λ对实数λ的取值范围进行讨论即可得到所求的答案

解答：解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2? 2 )2

=2

2

∴动点P的轨迹是椭圆
∴a=

2

，b=1，c=1
∴曲线E的方程是 

x2

2

+y2=1．
（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

△=(8k)2-4(2k2+1)×6＞0 x1+x2=- 8k 2k2+1 x1x2= 6 2k2+1

i）  L与y轴重合时，

DM

DN

=λ=

1

3

ii）  L与y轴不重合时，由①得  k2＞

3

2

 
 又∵λ=

DM

DN

=

xD-xM

xD-xN

=

x1

x2

，
∵x₂＜x₁x₁＞0
∴0＜λ＜1，
∴

(x1+x2)2

x1x2

=

x1

x2

+

x2

x1

+2=λ+

1

λ

+2
∵

(x1+x2)2

x1x2

=

64k2

6(2k2+1)

=

32

3(2+ 1 k2 )

而k2＞

3

2

∴6＜3(2+

1

k2

)＜8
∴4＜

32

3(2+ 1 k2 )

＜

16

3

∴4＜λ+

1

λ

+2＜

16

3

，即2＜λ+

1

λ

＜

10

3

，
由

0＜λ＜1 2＜λ+ 1 λ ＜ 10 3

解得λ的取值范围是[

1

3

，1）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系椭圆的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．