Question

（2011•南汇区二模）已知动直线y=kx交圆（x-2）²+y²=4于坐标原点O和点A，交直线x=4于点B，若动点M满足

OM

=

AB

，动点M的轨迹C的方程为F（x，y）=0．
（1）试用k表示点A、点B的坐标；
（2）求动点M的轨迹方程F（x，y）=0；
（3）以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）．
①对称性；（2分）
②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；（2分）
③图形范围；（2分）
④渐近线；（3分）
⑤对方程F（x，y）=0，当y≥0时，函数y=f（x）的单调性．（3分）

Answer 1

分析：（1）将直线的方程代入圆的方程，得到点A、直线和直线的方程联立得出点B的坐标从而解决问题．
（2）利用向量的坐标关系式得出点M的参数方程为

x= 4k2 1+k2 y= 4k3 1+k2

（k为参数），消去参数k，得动点M的轨迹方程F（x，y）=0；
（3）①关于对称性；将方程中的（x，y）换成（x，-y），方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称．
②关于顶点坐标，曲线C的顶点为（0，0）；在方程x³+xy²-4y²=0中，令y=0，得x=0．则曲线C的顶点坐标为（0，0）．
③关于图象范围：0≤x＜4，y∈R；y2=

x3

4-x

≥0，得0≤x＜4，y∈R．
④关于渐近线，直线x=4是曲线C的渐近线；0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，当x→4时，y→∞．则直线x=4是曲线C的渐近线．
⑤关于单调性：当y≥0时函数y=f（x）在[0，4）上单调递增．

解答：解：（1）

(x-2)2+y2=4 y=kx

，得

x=0 y=0

或

x= 4 1+k2 y= 4k 1+k2

，
即点A(

4

1+k2

，  

4k

1+k2

).

x=4 y=kx

，得

x=4 y=4k

，即点B（4，4k）．…4分
（2）

OM

=

AB

=(

4k2

1+k2

，

4k3

1+k2

)，则点M的参数方程为

x= 4k2 1+k2 y= 4k3 1+k2

（k为参数），
消去参数k，得x³+xy²-4y²=0．…8分
（3）①关于x轴对称；
将方程中的（x，y）换成（x，-y），方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称．
②曲线C的顶点为（0，0）；
在方程x³+xy²-4y²=0中，令y=0，得x=0．则曲线C的顶点坐标为（0，0）．
③图象范围：0≤x＜4，y∈R；y2=

x3

4-x

≥0，得0≤x＜4，y∈R．
④直线x=4是曲线C的渐近线；0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，当x→4时，y→∞．则直线x=4是曲线C的渐近线．
⑤当y≥0时函数y=f（x）在[0，4）上单调递增；y2=

x3

4-x

(0≤x＜4)．设0≤x₁＜x₂＜4，则

y

2 1

-

y

2 2

=

x 3 1

4-x1

-

x 3 2

4-x2

=

x 3 1 (4-x2)- x 3 2 (4-x1)

(4-x1)(4-x2)

=

(x1-x2)[ x 2 1 (4-x2)+ x 2 2 (4-x1)+4x1x2]

(4-x1)(4-x2)

＜0．
则y₁²＜y₂²，即y₁＜y₂，所以当y≥0时函数y=f（x）在[0，4）上单调递增．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系、考查了曲线的几何性质，解题时要认真审题，仔细解答．