Question

工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）

Answer 1

分析：设下下底边长分别为5x，2x，以之表示出体积，用体积为208立方分米建立关于x的方程即可求出上、下底边的边长．再用表面积公式求出其表面积即可知道做这样的容器需要多少平方分米的铁皮．

解答：解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x，则下底面边长A₁B₁=2x，设表面积为S．
因正四棱台的体积
V=

1

3

h(s1+s2+

s1s2

)．
∴208=

1

3

•4•[(5x)2+(2x)2+5x•2x]，
∴x²=4，∴x=2，
∴AB=10（分米），A₁B₁=4（分米）．
由此可得
S=A1B12+4•

1

2

•(AB+A1B1)•FF1
=42+4•

1

2

•(10+4)•

42+( 10-4 2 )2

=156（平方分米）=1.56（平方米）
故共需铁皮1.56平方米．

点评：考查正四棱台的表面积与体积公式，训练答题者的空间想象能力与正四棱台的结构．