Question

（本小题12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E是MN的中点。

（1）求证：平面AEC⊥平面AMN；    （6分）

（2）求二面角M－AC－N的余弦值。   （6分）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）

【解析】方法一、传统几何

（1）MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=NC=MC=，E是MN中点，可得AE⊥MN，CE⊥MN，又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC；

（2）这里也有多种方法：

连接BD交AC与点O，底面是正方形得AC⊥BD，OE//MD推得OE⊥AC，得AC⊥平面MDBN，所以∠MON就是二面角M－AC－N的平面角，在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=。

（亦可把二面角M－AC－N，拆成两个二面角M－AC－E和E－AC－N；或者抽取出正四面体MNAC，再求侧面与地面所成角；或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角）

   方法二、向量几何

MD⊥平面ABCDMD⊥DA，MD⊥DC，又底面ABCD为正方形DA⊥DC，故以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，如图建立空间直角坐标系。

则各点的坐标A（1，0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），M（0,0,1），N（1,1,1），

E（，，1）                             ……3分

 （1）  ·=…=0MN⊥AE；

·=…=0MN⊥AC

                       又AC∩AE=E，故MN⊥平面AEC；       ………7分

 （2）不妨设平面AMC的法向量为=（1，y，z），平面ANC的法向量为=（1，m，n） 则由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标解得=（1,1,1）---9分

由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标运算得=（1,1，－1）--11分

   Cos<,>==                             -------12分