Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₇=8，S₁+S₂=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$与$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中项，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得$\frac{{T}_{n}}{{T}_{k}}$≥$\frac{2k+1}{k}$•3^6-k恒成立的最小正整数k的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”、数列的单调性、不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁+a₇=8，S₁+S₂=5．
∴2a₁+6d=8，3a₁+d=5，
解得a₁=$\frac{11}{8}$，d=$\frac{7}{8}$．
∴a_n=$\frac{11}{8}+\frac{7}{8}（n-1）$=$\frac{7n+4}{8}$．
（2）∵$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$与$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中项，∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{64}{（7n+4）（7n+11）}$=$\frac{64}{7}（\frac{1}{7n+4}-\frac{1}{7n+11}）$．
∴T_n=$\frac{64}{7}[（\frac{1}{11}-\frac{1}{18}）$+$（\frac{1}{18}-\frac{1}{25}）$+…+$（\frac{1}{7n+4}-\frac{1}{7n+11}）]$
=$\frac{64}{7}（\frac{1}{11}-\frac{1}{7n+11}）$≥$\frac{64}{7}×（\frac{1}{11}-\frac{1}{18}）$=$\frac{32}{99}$．
∵$\frac{{T}_{n}}{{T}_{k}}$≥$\frac{2k+1}{k}$•3^6-k恒成立，
∴$\frac{32}{99}$≥$\frac{64}{7}$$（\frac{1}{11}-\frac{1}{7k+11}）$×$\frac{2k+1}{k}$•3^6-k恒成立，
化为$\frac{7k+11}{4k+2}≥{3}^{8-k}$，
经过验证可知：当1≤k≤7时，式式不成立，当k=8时，上式成立；当k≥9时，左边＞1，而右边＜1．
因此使得上式成立的k的最小值为8．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．