Question

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点.

(1)证明AC⊥SB;

(2)求二面角N-CM-B的大小；

(3)求点B到平面CMN的距离.

Answer 1

(1)证明：取AC的中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SD且AC⊥BD.

∴AC⊥平面SDB.又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

(2)解：∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于点E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于点F，连结NF，则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角NCMB的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，

∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，

∴NE∥SD.∵SN=NB,

∴NE=SD=，且ED=EB.

在正△ABC中，由平面几何知识可求得

EF=MB=,

在Rt△NEF中，tan∠NFE=.

∴二面角NCMB的大小是arctan.

(3)解：在Rt△NEF中，NF=,

∴S_△CMN=CM·NF=,

S_△CMB=BM·CM=.

设点B到平面CMN的距离为h,

∵V_B—CMN=V_N—CMB,NE⊥平面CMB，

∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE.

∴h=，

即点B到平面CMN的距离为