Question

已知动圆Q与x轴相切，且过点A（0，2）．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M方程；
（2）设B、C为曲线M上两点，P（2，2），PB⊥BC，求点C横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y）为轨迹上任一点，则|y|=≠0，由此能求出动圆圆心Q的轨迹方程．
（2）设，，由P（2，2），知，，由PB⊥BC，知=0，所以，由此能求出点C横坐标的取值范围．
解答：解：（1）设P（x，y）为轨迹上任一点，则
|y|=≠0，
化简得动圆圆心Q的轨迹M方程：y=．                                
（2）设，，
∵P（2，2），
∴，，
∵PB⊥BC，
∴，
∴=0
∴，
当x₁＞0时， 
=-

=-6．
当x₁＜0时， 
=-+2
≥+2
=10                     
∴x₂≥10 或x₂≤-6．
故点C横坐标的取值范围是（-∞，-6]∪[10，+∞）．
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．