Question

已知动圆Q与x轴相切，且过点A（0，2）．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M方程；
（2）设B、C为曲线M上两点，P（2，2），PB⊥BC，求点C横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）为轨迹上任一点，则|y|=

x2+(y-2)2

≠0，由此能求出动圆圆心Q的轨迹方程．
（2）设B(x1，

1

4

x12+1)，C(x2，

1

4

x22+1)，由P（2，2），知

PB

=(x1-2，

1

4

x12 -1)，

BC

=(x2-x1，

1

4

x22-

1

4

x12)，由PB⊥BC，知(x1-2)(x2-x1)+(

1

4

x12-1)(

1

4

x22-

1

4

x12)=0，所以x2=-(x1+

16

x1+2

)，由此能求出点C横坐标的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y）为轨迹上任一点，则
|y|=

x2+(y-2)2

≠0，
化简得动圆圆心Q的轨迹M方程：y=

1

4

x2+1．                                
（2）设B(x1，

1

4

x12+1)，C(x2，

1

4

x22+1)，
∵P（2，2），
∴

PB

=(x1-2，

1

4

x12 -1)，

BC

=(x2-x1，

1

4

x22-

1

4

x12)，
∵PB⊥BC，
∴

PB

•

BC

=0，
∴(x1-2)(x2-x1)+(

1

4

x12-1)(

1

4

x22-

1

4

x12)=0
∴x2=-(x1+

16

x1+2

)，
当x₁＞0时，x2=-(x1+

16

x1+2

) 
=-(x1+2+

16

x1+2

-2)
≤-(2

(x1+2)• 16 x1+2

-2)
=-6．
当x₁＜0时，x2=-(x1+

16

x1+2

) 
=-(x1+2)-

16

x1+2

+2
≥2

[-(x1+2)]•(- 16 x1+2

)+2
=10                     
∴x₂≥10 或x₂≤-6．
故点C横坐标的取值范围是（-∞，-6]∪[10，+∞）．

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．