Question

【题目】已知椭圆： 的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点，当时， 恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）弦长为定值6．

【解析】试题分析：（1）根据时，直线的倾斜角为，又的周长为6，即可求得椭圆方程；（2）利用特殊位置猜想结论：当时，直线的方程为： ，求得以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6 ，猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，再进行证明即可.

试题解析：（1）当时，直线的倾斜角为，所以：

解得： ，所以椭圆方程是：；

（2）当时，直线： ，此时，，，又点坐标是，据此

可得，，故以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6．由此猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6．　

证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：

，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，

由方程组　得到：，

所以：，　　从而：

=0，

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6．